Montrer que, pour \(a\in{\Bbb Z}\) et \(n\in{\Bbb N}^*\), il existe des uniques \(q\in{\Bbb Z}\) et \(r\in{\Bbb R}\) tels que $$a=bq+r\quad\text{ et }\quad0\leqslant r\lt b$$ (théorème de la division euclidienne)

Définition de \(\mathscr N\)
Pour simplifier, supposons \(a\geqslant0\)
Soit \(\mathscr N=\{n\in{\Bbb N}\mid bn\leqslant a\}\)

\(\mathscr N\) est non vide
\(\mathscr N\neq\varnothing\) car \(0\in\mathscr N\)

\(\mathscr N\) est fini + définition de \(q\)
\(\mathscr N\) admet un nombre fini d'éléments car \(\forall n\in\mathscr N,n\leqslant a\). Notons \(q=\max\mathscr N\)

Par définition, \(q\) remplit bien les critères de la division euclidienne
Alors on a \(qb\leqslant a\) car \(q\in\mathscr N\) et \((q+1)b\gt a\) car \(q+1\notin\mathscr N\)
On a donc : $$qb\leqslant a\lt (q+1)b=qb+b$$

Définition de \(r\), qui remplit bien les critères de la division euclidienne
Notons \(r=a-qb\), \(r\) vérifie alors : $$0\leqslant r\quad\text{ et }\quad r=a-qb\lt b$$

Unicité
Montrons que \(q\) et \(r\) sont uniques.
Supposons qu'il existe \(q^\prime\) et \(r^\prime\) qui remplissent les critères de la division euclidienne : $$a=bq+r=bq^\prime +r^\prime $$

Réécriture pour isoler \(q,q^\prime\) et \(r,r^\prime\)
On a alors : $$b(q-q^\prime )=r^\prime -r$$

Soustraction des deux inégalités positives avec \(r,r^\prime\) et \(b\)
De plus, puisque \(0\leqslant r^\prime\lt b\) et \(0\leqslant r\lt b\), on a : $$-b\leqslant r-r^\prime \leqslant b$$

Montrer que \(q^\prime =q\) en remplaçant \(r-r^\prime\)
Or, on a \(b(q-q^\prime )=r^\prime -r\) et donc : $$\begin{align}&-b\lt b(q-q^\prime )\lt b\\ \implies&-1\lt q-q^\prime \lt 1\\ \implies&q-q^\prime =0\\ \implies&q^\prime =q\end{align}$$

Montrer que \(r^\prime =r\) en remplaçant \(q-q^\prime\)

Enfin, on a : $$\begin{align}&r^\prime -r=b(q-q^\prime )\\ \implies&r^\prime =r\end{align}$$

(Ensemble vide, Elément maximal)